الـقـواسـم و الـمـضـاعـفـات

الـقـواسـم و الـمـضـاعـفـات
جدع المشترك علمي

خـواص عـامـة لـلـقـواسـم والـمـضـاعـفـات :

1 – تـعـريـف :

نـقـول عـن عـدد صـحـيـح طبيعي m أنـه مـضـاعـفـا لـعـدد صـحـيـح طبيعي آخـر b إذا وفـقـط إذا وجـد عـدد صـحـيـح طبيعي n بـحـيـث يـكـون :
m = b x n . إذا كـان b غـيـر منعدم نـقـول أيـضًـا إن b قـاسـم لـِ m أو b يُـقـسّـم m ونـكـتـب : b / m.

أمـثـلـة :

مضـاعـفات الـعدد 3 هـي : . . .12 ، 9 ، 6 ، 3 ، 0
قـواسـم العدد 36 هـي : 1 ، 2 ، 3 ، 4 ، 6 ، 9 ، 12 ، 18 ، 36

– الـتـرمـيـز :
* نـرمـز لمـجمـوعـة قـواسـم العـدد n بالرمز : Dn.
* نرمـز لمـجمـوعـة مضـاعفـات العـدد n بالـرمـز : Mn.
أمـثـلـة :
* { …، 15 ، 12 ، 9 ، 6 ، 3 ، 0} = M3
* { 1 ، 2 ، 3 ، 4 ، 6 ، 9 ، 12 ، 18 ، 36 } = D36

3 – تطبيق :

عين D54
الحل :
لدينا: 54 = 1 × 54 = 2 × 27 = 3 × 18 = 6 × 9
إذن : { 1 ، 2 ، 3 ، 6 ، 9 ، 18 ، 27 ، 54 } = D54

4 – الـمضـاعفـات والقـواسـم المـشـتـركة لعـدديـن أو أكـثـر:

{ … … ، 90 ، 81 ، 72 ، 63 ، 54 ، 45 ، 36 ، 27 ، 18 ، 9 ، 0} = M9
*{ … … ، 96 ، 84 ، 72 ، 60 ، 48 ، 36 ، 24 ، 12 ، 0} = M12
المضاعـفات المـشـتركة للـعـددين : 9 ، 12 هي عناصر الـمـجـمـوعـة :
{… 72 ، 36 ، 0 }

*{ 1 ، 2 ، 3 ، 6 ، 9 ، 18 ، 27 ، 54 } = D54
* { 1 ، 3 ، 5 ، 9 ،15 ، 45} = D45
* { 1 ، 2 ، 3 ، 5 ، 6 ، 10 ، 15 ، 30 } = D30
الـقواسـم الـمـشـتـركـة لـلأعداد : 54 ، 45 ، 30 هـي عناصر الـمـجـمـوعـة :
{ 1 ، 3 }

5 – خـواص الـمـضـاعـفـات والـقـواسـم :

خاصية 1 :

مـجـمـوع أو فـرق أو جداء مـضـاعـفـيـن لـعـدد صـحـيـح طبيعي مـفـروض هـو مـضـاعـف لـهـذا الـعـدد.

*إذا كان a / b و a / c فإن : a / b + c
*إذا كان a /b و a / c فإن : a / b – c
*إذا كان a / b و a / c فإن : a / b × c

خاصية 2 :

كـل مـضـاعـف لـمـضـاعـف عـدد صـحـيـح طبيعي هـو نـفـسـه مـضـاعـفـاً لـهـذا الـعـدد الـصـحـيـح.
كـل قـاسـم لـقـاسـم عـدد صـحـيـح هـو نـفـسـه قـاسـم الـعـدد الـصـحـيـح.

*إذا كان a / b و b / c فإن : a / c

خاصية 3 :

كـل قـاسـم مـشـترك لـعـدديـن صحيـحين a و b يُـقسّـم كل عدد صحيـح من الـشكل : bm + an حيث m و n عددان صحيحان طبيعيان.

المضـاعف الـمشـتـرك الأصغـر والقـاسم الـمشـتـرك الأكـبـر :

تعريف :

المضاعف المشترك الأصغر لعددين صحيحين طبيعين a وb هو اصغر مضاعف مشترك ل و من بين المضاعفات المشتركة ل a وb و يرمز له ب :أو (M(a ; b
القاسم المشترك الأكبر لعددين صحيحين طبيعين a وb هو أكبر قاسم مشترك ل a وb من بين القواسم المشتركة ل a وb و يرمز له ب : أو (Δ(a ; b

أمثـلــة :
*لدينا: { …18 ، 15 ، 12 ، 9 ، 6 ، 3 ، 0} = M3 و { …، 45 ، 36 ، 27 ، 18 ، 9 ، 0} = M9
9 هو أصغر مضاعف من غير 0 من بين مضاعفات العددين 3 و 9 :
إذن : M(3 ; 9) = 9
*لدينا: {1 ، 3 ، 5 ، 9 ،15 ، 45} = D45 و { 1 ، 2 ، 3 ، 6 ، 9 ، 18 ، 27 ، 54} = D54
9 هو أكبر قاسم من بين قواسم العددين 45 و 54 :
إذن : Δ(45 ; 54) = 9