بعض الدروس في الرياضيات مع أمثلة و تمارين شهادة التعليم المتوسط

بعض الدروس و التمارين في الرياضيات 4 متوسط إعداد: مصطفى عبد الهادي

ت حليل عبارة جبرية

معرفة1:تحليل عبارة جبرية على شكل مجموع أو فرق يعني تحميل كتابتها على شكل جداء.

التحليل باستعمال العامل المشترك

بصفة عامة:

k  a + k  b = k  (a + b)

جداء مجموع

k  a – k  b = k  (a – b)

جداء فــــرق

عامل مشترك. K يسمى

مثال:حلّل العبارات الأتية:

A = 6 x + 18 ;

B = 5 x ² – 15 x ;

C = (3 x – 1) (x – 8) – (2 x + 4) (x – 8).

من الإشارة-:C حذار في

تطبيقات:

ت1: ضع العدد الموجود بين قوسين كعامل مشترك

لكل عبارة مما يأتي:

.

.

.

.

ت 2:حلّل العبارات الأتية:

ت3: حلّل العبارات الأتية:

ت4:حلّل العبارات الأتية:

تعرف على العامل المشترك العامل

E = (x + 1) (x + 7) – (x + 7) ;

F = (2 x – 5) ² – (2 x – 5) (x + 2) ;

G = 2 x + 1 + 5 x (2 x + 1) – 3 x (2 x + 1) ;

H = (x – 8) ² + (x – 8).

ت5: حلّل ثم أحسب ذهنيا كما في المثال الأتي:

12  23 – 23  11 = 23  (12 – 11) = 23  1 = 23

A = 151  47 + 151  53 ; B = 13  2,3 + 5,7  13 ;

C = 32  23,5 – 3,5  32 ; D = 17  47 – 37  17 ;

E = 21  3,4 + 21  5,4 – 0,8  21.

التحليل با ستعمال المتطابقات الشهيرة

معرفة2: بجب حفظ المتطابقات الشهيرة الأتية:

a ² + 2 a b + b ² = (a + b) ²

a ² – 2 a b + b ² = (a – b) ²

a ² – b ² = (a + b) (a – b)

لتحليل عبارة جبرية لاتشمل عاملا مشتركا.

مثال:حلّل العبارات الأتية:

A = x ² + 6 x + 9 ; B = x ² – 36 ; C = 4 x ² – 20 x + 25 .

حذار من الأقـوا س

4 x ² = (2 x) ² !

تطبيقات

ت1: حلّل العبارات الأتية:

D =x ² – 8 x + 16 ;

E = 9 x ² + 6 x + 1 ;

F = 16 x ² – 9.

مساعدة

D = x ² – 8 x + 16 = … ² – …  x  … + … ² = (x – …) ² ;

E = 9 x ² + 6 x + 1 = (…x) ² + 2  3…  … + 1 ² = (…x + …) ² ;

F = 16 x ² – 9 = (…x) ² – … ² = (…x + …) (…x – …).

ت2 : حلّل العبارات الأتية:

A = x ² + 2 x + 1 ;

B = x ² – 6 x + 9 ;

C = x ² – 81  ;

D = x ² + 18 x + 81 ;

E = x ² + 8 x + 16 ;

F = x ² – 9 ;

G = 64 – x ² ;

H = x ² – 10 x + 25.

ت3:حلّل العبارات الأتية:

A = 4 x ² – 4 x + 1 ;

B = 9 x ² + 54 x + 81 ;

C = 25 x ² – 16 ;

D = 4 x ² – 28 x + 49 ;

E = 36 x ² + 36 x + 9 ;

F = 36 x ² – 9 ;

G = 9 x^.2 – 81 ;

H = 9 x ² – 12 x + 4.

ت3:حلّل العبارات الأتية كما في المثال الأتي:

A = (x + 2) ² – 16 = (x + 2) ² – 4 ² = [(x + 2) – 4] [(x + 2) + 4] = (x – 2) (x + 6).

B

في هذا التمرين نستعمل

a ² – b ² !

= (3 x – 4) ² – 49 ;

C = (x + 1) ² – 9 ;

D = (2 x – 1) ² – 100 ;

E = 36 – (x – 6) ² ;

F = (x – 1) ² – (x + 3) ² ;

G = (3 x – 7) ² – (8 x + 8) ².

ت4:تمثل الكتابةالأتية إجابة التلميذ عبدالرحمان على ورقة الإمتحان:

، هل إجابة عبدالرحمان صحيحة؟علّل.

تمارين

تمرين1:حلّل العبارات الأتية:

تمرين2:حلّل العبارات الأتية إن أمكن ذلك باستخدام إحدى المتطابقات الشهيرة:

ا

تذكير:

اليك المعادلة المعادلة.

هوالطرف الأول لهذه المعادلة.

هوالطرف الثاني لهذه المعادلة .

لمعادلات

حلول معادلة:

التي تحقق المعادلة؟ يعني إيجاد قيم المجهول حلول المعادلة

1) تغيير تحميل كتابة معادلة دون تغيير حلولها:

*إذا أضفنا (أو طرحنا) نفس العدد إلى طرفي معادلة فإنه لا تتغير حلول هذه المعادلة*.

نضيف 3 إلى طرفيها مثال:لدينا:

نحصل على المعادلة:

وإذا طرحنا 5 من طرفي المعادلة نحصل على المعادلة:

لها نفس الحلول . و المعادلات:

نقول إن المعادلات:

متكافئة أي لها نفس الحلول . و

*إذاضربنا أو قسمنا طرفي معادلة في نفس العدد(على نفس العدد غير المعدوم)فإنه لاتتغيرحلولها*.

مثال:إليك المعادلة: ،نضرب طرفيها في العدد 3

نحصل على المعادلة:

وإذا قسمنا طرفي المعادلة على2 نحصل على المعادلة: .

2) مبدأ حل معادلة:

* لحل معادلة من الدرجة الأولى بمجهول واحد،نستبدل هذه المعادلة بمعادلة

أبسط منها وتكافؤها(لها نفس الحلول)ونستعمل طريقة نقل الحدود مع تغيير الإشارات*.

مثال:حل المعادلة:

خط1:ننقل المجهول في طرف و المعلوم في الطرف الأخر:

خط2:نبسط طرفي المعادلة: فنحصل على:

خط3:نقسم طرفي المعادلة: على العدد 2 نحصل على:

إذن 3- هو حل لهذه المعادلة.

معادلة جداء معدوم:

*نسمي معادلة جداء معدوم كل معادلة مكتوبة على شكل جداء عوامل يساوي 0.*

مثال: المعادلة: هي معادلة جداء معدوم.

نظرية:

** إذاكان ab=0 معناه: a=0 أو b=0.**

*تمكننا هذه النظرية من تحويل معادلة جداء إلى معادلتين من الدرجة الأولى.*

ab=0

معناه:

a=0أوb=0

b

كما يوضح المخطط الأتي:

=0 b x a

مثال: حل المعادلة:

لدينا: يعني أن:

ومنه: ومنه:

إذن :2- و هما حلان لهذه المعادلة.

طرائق حل معادلات:

مثال: لنحل المعادلات الثلاث:

السؤال الذي يطرح نفسه بالنسبة لتلميذ سنة الرابعة متوسط في هذه الحالة .كيف أحل معادلة من هذا النوع(من الدرجة2 أو أكثر)؟.

F(x)=0وضع المعادلة بالشكل:

F(x)=0

hg

هل أقو م بالنشر؟ ،هل أقوم بالتحليل؟……إليك المخطط الأتي يوضح لك الإختيار الصحيح:

F(x)نبحث في تحليل

لايمكن التبسيط

يمكن التحليل

لا يمكن التحليل

يمكن التبسيط

F(x)نقوم بنشر

نقوم بحل معادلة من الشكل:

Axb=0

؟

قمت بخطأ في النشر

النشرصحيح

راجع النشر

ax+b=0حل معادلة:

تمارين

تمرين1:

حل المعادلات الأتية:

1. a) 7 x = 13 ; b) x – 3 = 12 ; c) – \f(x;3 = 5 ;
2. d) 3 x + 10 = 28 ; e) 7 – 4 x = 11 ; f) 9 = 2 x + 7.

تمرين 2:

حل المعادلات الأتية:

1. a) 4 x + 7 = 2 x + 13 ; b) x – 2 = 10 + 5 x;
2. c) – 3 x – 8 = – 7 x – 4 ; d) 2 t + 5 = 5 t + 12 ;

4. e) 7 x – 6 = 6 x + 3، f) 15 x = 7 x + 4.

تمرين3:

حل المعاذلات الأتية:

a ) x + (2 x – 3) + (x – 7) = 12 ;

1. b) 4 (5 x – 7) = 32 ;

عليك أحيانا

بالنشر و التبسيط

c) 5 (x + 1) – 3 (x – 2) = 48 ;

1. d) 3 (2 x – 1) – 5 x = 3 x – 1 ;

1. e) 2 (x – 3) + 3 (x – 1) = 2 x – 3 ;

1. f) 5 x – 2 (3 x + 1) = 3 (x + 3) – 4 (2 x + 3) ;
2. g) 8 – 7 (x – 1) + 3 (2 x + 3) = – 4 x.

تمرين 4:حل المعادلات الأتية:

(x + 2) (x – 5) = 0 ;

(x – 3) (– 2 x + 3) =0 ;

2 x (3 x – 4) = 0 ;

(9 – 5 x) (3 x + 2) = 0 ;

(2 x – 7) ² = 0.

4 x ² – 2 x = 0 ;

(3 x – 5) (x + 1) – (3 x – 5) (2 x – 3) = 0 ;

(5 x + 7) (2 x + 3) – (5 x + 7) ² = 0 ;

9 x ² – 25 = 0.

تمرين 5:حل المعادلات الأتية:

x ² + 12 x + 36 = (2 x – 3) (x + 6) .

9 x ² – 12 x= – 4

(2 x – 1) ² = 100 ;

36 = (x – 6) ² ;

(3 x – 7) ² = (8 x + 8) ²

. (3 x +8) (2 x + 3) = (3 x + 8) ²

ترييض مشكل

حل مسألة تؤول إلى حل معادلة:

** لحل مسألة عن طريق حل معادلة يجب إتباع الخطوات الأتية:

-وضع أو اختيار المجهول المناسب للسؤال.

– وضع المعادلة الملائمة لمعطيات المسألة.

– حل المعادلة.

– التحقق من الحل ثم التصريح بالإجابة عن السؤال المطروح.**

مثال:

اشترى محمد 3كتب و4 أقراص مضغوطة فدفع للتاجر 1060DA . إذاعلمت أن سعر الكتاب يزيد عن سعر القرص

بـــ:50DA فماهو سعر القرص المضغوط؟